监狱的管理属于中国国务院的司法行政部门，即司法部。根据《中华人民共和国监狱法》，司法部是主管全国监狱工作的最高职能部门，而监狱管理局是司法部下属的监狱管理部门，负责具体工作。监狱管理局根据法律授权，对监狱的设置、撤销、迁移等进行审批，并监督检查监狱法律法规和政策的执行工作，指导、监督监狱执法、管理和罪犯改造工作。
具体到监狱的归属，监狱可以分为部属监狱、省属监狱和市属监狱：
部属监狱：直接归属于司法部管辖，例如燕城监狱。
省属监狱：由各省、直辖市或自治区的司法厅（局）主管。
市属监狱：由地级市、地级区的司法局主管。
需要注意的是，监狱的管理体系可能会随着时间和政策的变化而有所调整，但根据现行法律框架，司法部是负责全国监狱管理工作的最高行政机关